Modello Baumol–Oates in tempo discreto e tempo continuo: analisi deterministica e stocastica

In questo paper andiamo ad analizzare un modello utilizzato da Baumol-Oates per mettere in relazione l’evoluzione dinamica dello stock di inquinante in rapporto al livello della carbon-tax. Del modello, inizialmente in tempo discreto, forniamo la soluzione ed alcune derivate di statica comparata della soluzione stessa. Il modello viene poi da noi posto in forma continua con una struttura leggermente diversa dall’originale e ampliato a due equazioni differenziali. Il modello ha struttura non lineare per cui si pone l’esigenza di linearizzarlo per analizzarne la dinamica almeno nell’intorno dei punti di equilibrio. L’analisi degli autovalori conferma la stabilità dei punti di equilibrio come il modello in forma discreta. Tuttavia, tale stabilità può essere accertata solo localmente. L’ulteriore estensione del modello a quattro equazioni non lineari comporta che i punti di equilibrio sono ora instabili per lo meno nell’intorno dei punti di equilibrio stessi. Successivamente, viene data una versione stocastica del modello, posta in forma strutturalmente diversa, anche se resta la filosofia di fondo del modello che pone in relazione inversa lo stock di inquinante con il livello del saggio di carbon-tax. Come è noto, tuttavia, nella soluzione di equazioni differenziali stocastiche, compare un processo di Wiener che è sconosciuto e la soluzione stessa non è derivabile. Conclude il paper una nota sulla efficacia del processo di linearizzazione di sistemi non lineari nel predirre la dinamica globale del sistema non-lineare stesso.