Estimation de probabilités de changement d'état en présence de données incomplètes et applications actuarielles

Les expressions des probabilités de changement d'état, sont, que ce soit de manière explicite ou de manière implicite, largement utilisées dans l'élaboration de tarifs, de calculs de provisions et dans la mise au point de procédures de suivi de portefeuille. Elles sont notamment exploitées dans les secteurs de l'assurance vie et de la prévoyance (états de vie ou décès pour l'assurance vie, états d'actif, retraité, incapable, invalide, décédé, etc. en prévoyance). L'estimation de ces probabilités est un problème crucial dont va dépendre la fiabilité des calculs actuariels déduits. Cet article propose une estimation des probabilités de transition d'un processus de Markov non homogène, en présence de données incomplètes. Cette estimation se fait à l'aide d'une extension naturelle de l'estimateur de KAPLAN-MEIER [[8]], proposée originellement par AALEN [[1]]. En présence d'observations évoluant entre plusieurs états, on estime, en fonction du temps, les probabilités de passage d'un état à un autre. Les observations sont ici incomplètes, soit qu'un individu apparaisse dans un état donné à une date donnée sans qu'il ait été observé jusqu'alors (troncatures gauches), soit qu'il ne soit plus observé à partir d'un instant donné (censures droites). Une propriété intéressante du point de vue actuariel est donnée pour cet estimateur, qui fait également l'objet d'une application: un fichier est créé qui simule des changements d'état d'individus, partiellement observés, évoluant au cours du temps. L'estimation des probabilités de se trouver dans un état j ε à une date t , sachant que l'on était dans un état i ε à une date s est alors opérée. Des graphiques permettent enfin de constater la conformité des estimations aux lois qui ont généré le fichier. Quelques applications actuarielles sont également développées, illustrant les très nombreuses utilisations possibles de cet estimateur.