Estimation de la transition de probabilité d'une chaîne de Markov doëblin-récurrente. étude du cas du processus autorégressif général d'ordre 1

Nous considérons une chaîne de Markov homogène {Xn}. Nous estimons la densité de sa probabilité de transition à l'aide d'estimateurs à noyaux. Nous appliquons ces méthodes à l'estimation de la fonction f, supposée inconnue, du processus défini par X1 et Xn+1 = f(Xn)+[var epsilon]n où {[var epsilon]n} est un bruit (suite de variables aléatoires indépendantes équidistribuées) de loi inconnue. Les vitesses de convergence en moyenne quadratique intégrée sont identiques à celles des estimations classiques de densités. Nous utilisons ce type de risque pourobtenir des informations globales au sujet des estimées. Nous montrons aussi que ces risques passent par un minimum lorsque la variance du bruit évolue. Enfin, nous estimons la variance du bruit par plusieurs méthodes. We consider an homogenous Markov chain {Xn}. We estimate its transition probability density with kernel estimators. We apply these methods to the estimation of the unknown function f of the process defined by X1 and Xn+1 = f(Xn) + [var epsilon]n, where {[var epsilon]n} is a noise (sequence of independent identically distributed random variables) of unknown law. The mean quadratic integrated rates of convergence are identical to those of classical density estimations. These risks are used here because we want some global informations about our estimates. We also study the average of those risks when the variance changes; it is shown that they reach a minimal value for some optimal variance. We study uniform convergence of our estimators. We finally estimate the variance of the noise and its density.